Question

(本小題滿分14分)函數f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x的最小值為g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此時f(x)的最大值．

Answer 1

（1）見解析；(2)a＝－1. 此時f(x)取得最大值為5.       

(1)f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x＝2²－－2a－1.－1≤cosx≤1.轉化為二次函數問題解決.
(2)在第（1）問的基礎上，根據g(a)＝，建立關于a的方程求解即可.
解：(1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x
＝1－2a－2acosx－2(1－cos²x)
＝2cos²x－2acosx－(2a＋1)
＝2²－－2a－1.這里－1≤cosx≤1.    …………4分     
①若－1≤≤1，即－2≤a≤2，則當cosx＝時，f(x)_min＝－－2a－1；…………5分 
②若>1，則當cosx＝1時，f(x)_min＝1－4a；…………6分 
③若<－1，則當cosx＝－1時，f(x)_min＝1.          …………7分  
因此g(a)＝.…………8分  
(2)∵g(a)＝.
∴①若a>2，則有1－4a＝，得a＝，矛盾；  …………10分  
②若－2≤a≤2，則有－－2a－1＝，
即a²＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．   …………12分  
∴g(a)＝時，a＝－1. 此時f(x)＝2²＋，
當cosx＝1時，f(x)取得最大值為5.          …………14分