Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，為相圓上一點，與軸交于，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過右焦點的直線交橢圓于、兩點若的中點為，為原點，直線交直線于點.求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】

（Ⅰ）由題意得，通過平面幾何的知識，可以得到，根據，離心率為，結合，這樣可以求出，，進而求出橢圓的標準方程；

（II）直線與橢圓方程聯立，可以得到一個一元二次方程，設、，利用根與系數關系可以求出的坐標，以及的長度，求出直線的方程，求出的坐標，求出的長度表達式，求出 平方的表達式，用換元法、配方法，最后求出的最大值.

（I）連接，由題意得，所以為的中位線，

又因為，所以，且

又，，得，，

故所求橢圓方程為.

（II）聯立，可得.

設、，則，，

所以為

所以的中點坐標為，

因此直線的方程為，從而點為，，

設，令，則

，

因此當，即時取得最大值.