Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求零點處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個零點，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）見解析

【解析】

(I)先把代入得到，根據零點存在性原理判斷函數的零點坐標原點和，代入求出切線斜率即可求出切線方程；

(II)先構造一個函數，利用這個函數可得到，從而有，再構造，得到，有，再根據即可證明.

解：（Ⅰ）由題意得：，，定義域為，

，

，在上為減函數．

，

由零點存在定理可知，在上必存在一點使

當時，，即在上為增函數，

當時，，即在上為減函數，

極大值，

故至多有兩個零點，又，，

故，是的兩個零點，由，，

易得出兩切線方程為：或

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，

設，

，，

在上為增函數，

當時，，即在上為減函數，

當時，，即在上為增函數，

，即，

設與的交點橫坐標為，

，

為增函數，，

同理設，

，，

在上為增函數，，

當時，，即在上為增函數，

當時，，即在上為減函數，

，即，

設與的交點橫坐標為，

，

為減函數，，

故：，

得證．