Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=2，DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求證：AD⊥PB；

（2）求A點到平面BPC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）利用勾股定理證得AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，從而由線面垂直的判定定理得到AD⊥平面PBD，所以AD⊥PB；

（2）證得BC⊥PC，求出S△BPC和S△ABC，再由VA﹣BPC=VP﹣ABC 利用等體積法即可求出點A到平面PBC的距離.

（1）如圖所示：

在四邊形ABCD中，連接BD，由DC=BC=1，AB=2，∠BCD=∠ABC，

在△ABD中，BD=AD，又AB=2，

因此AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD，又BD∩PD=D，

∴AD⊥平面PBD，

∴AD⊥PB；

（2）在四棱錐P﹣ABCD中，∵PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，而BC⊥DC，

∴BC⊥平面PDC，

∴BC⊥PC，又，

∴，而S△ABC1，

，設(shè)點A到平面PBC的距離為h，

由VA﹣BPC=VP﹣ABC 可得：，

∴，

即點A到平面PBC的距離為.