Question

【題目】已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構成等差數列．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設是過原點的直線，是與n垂直相交于點，與橢圓相交于兩點的直線，，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由構成等差數列可得， ，．又，，從而可得結果；（Ⅱ）先證明當與軸垂直時，不合題意，當與x軸不垂直時，設的方程為，由與垂直相交于 點且，得，利用韋達定理以及平面向量數量積公式，可得，矛盾，故此時的直線也不存在．

.試題解析：（Ⅰ）依題意，設橢圓的方程為．

構成等差數列，

，．

又，．

橢圓的方程為.

（Ⅱ）設兩點的坐標分別為,，

假設存在直線使成立，

(ⅰ)當與軸垂直時，滿足的直線的方程為或

當時，的坐標分別為，,．

∴

當時，同理可得，

即此時的直線不存在．

(ⅱ)當與軸不垂直時，設的方程為，

由與垂直相交于點且，得.

因為，，

,.

將代入橢圓方程，得

由根與系數的關系得：　，

即，矛盾，故此時的直線也不存在．

綜上可知，使成立的直線不存在．