Question

已知橢圓的焦點為F₁（-t，0），F₂（t，0），（t＞0），P為橢圓上一點，且|F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|的等差中項．
（1）求橢圓方程；
（2）如果點P在第二象限且∠PF₁F₂=120⁰，求tan∠F₁PF₂的值；
（3）設A是橢圓的右頂點，在橢圓上是否存在點M（不同于點A），使∠F₁MA=90°，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓和數列的基本性質以及題中已知條件便可求出a和b值，進而求得橢圓方程；
（2）設|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，利用F₁F₂|是|PF₁|，|PF₂|的等差中項及余弦定理，正弦定理可求tan∠F₁PF₂的值；
（3）假設橢圓上存在一點M，使∠F₁MA=90°，則|MF₁|²+|MA|²=|AF₁|²，計算出點M的坐標，即可判斷這樣的M點是否存在．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則2a=|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=2•2t，∴a=2t，b²=a²-c²=3t²，
所以所求橢圓方程為

x2

4t2

+

y2

3t2

=1．
（2）設|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，則

d 2 2 = d 2 1 +|F1F2|2-2d1|F1F2|cos1200 d1+d2=4t.

解方程組，得d1=

6

5

t，d2=

14

5

t．
由正弦定理，得

2t

sin∠F1PF2

=

14t 5

sin1200

，∴sin∠F1PF2=

5 3

14

，∴tan∠F1PF2=

5 3

11

．
（3）若橢圓上存在一點M（x₁，y₁），使∠F₁MA=90°，則|MF₁|²+|MA|²=|AF₁|²，即（x₁+t）²+y₁²+（x₁-2t）²+y₁²=（2t+t）²．
化簡，得 x₁²+y₁²-tx₁-2t²=0①
又    3t²x₁²+4t²y₁²=12t⁴②
由①、②，整理，得  x₁²-4tx₁+4t²=0’，∴x₁=2t，y₁=0，
所以點M與右頂點A重合，矛盾．所以這樣的M點是不存在的．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，考查是否存在性問題，一般來說，是否存在性問題，通常假設存在，從而轉化為封閉型命題求解．