Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），且該橢圓過點(diǎn)P（5，2）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若橢圓上的點(diǎn)M（x₀，y₀）滿足MF₁⊥MF₂，求y₀的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其半焦距c=6．由于點(diǎn)P（5，2）在橢圓上，利用橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）由MF₁⊥MF₂?

MF1

•

MF2

=0，并結(jié)合橢圓的方程即可得出．

解答：解：（1）依題意，設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其半焦距c=6．
∵點(diǎn)P（5，2）在橢圓上，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=

(5+6)2+22

+

(5-6)2+22

=6

5

．
∴a=3

5

，從而b²=a²-c²=9．
 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 

x2

45

+

y2

9

=1．
（2）由MF₁⊥MF₂得，
∴

MF1

•

MF2

=（-6-x₀，-y₀）•（6-x₀，-y₀）=

x

2 0

-36+

y

2 0

=0，
即x_o²=36-y₀²，代入橢圓方程得：
y_o²=

9

4

，
故 y₀=±

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．