Question

【題目】如圖，為橢圓的左頂點，過的直線交拋物線于、兩點，是的中點.

（1）求證：點的橫坐標是定值，并求出該定值；

（2）若直線過點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于、兩點，求的值，使得的面積最大.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析，定值1. (2)

【解析】

（1）由題意可求，設、，：，聯立直線與拋物線，利用是的中點得，計算可得點的橫坐標是定值；

（2）由題意設直線的方程為，聯立方程，利用是的中點，可得，根據三角形的面積公式以及基本不等式可求的面積最大值，由取等條件解得的值.

（1），過的直線和拋物線交于兩點，所以的斜率存在且不為0，設：，其中是斜率的倒數，設、，滿足，即，且，因為是中點，所以，所以，，

所以，即點的橫坐標為定值1.

（2）直線的傾斜角和直線的傾斜角互補，所以的斜率和的斜率互為相反數.設直線為，即，

聯列方程得，

，所以；且，

∵點是中點，∴，

設到的距離，，

，令，

當且僅當，時取到，

所以，.

法二：因為點在拋物線上，不妨設，又是中點，則，代入拋物線方程得：，得：，∴為定值.

（2）∵直線的斜率，直線斜率，

∴直線的方程：，即，令代入橢圓方程整理得：

，設、，下同法一.