Question

（2013•威海二模）如圖1，在梯形ABCD中，BC∥DA，BE⊥DA，EA=EB=BC=2，DE=1，將四邊形DEBC沿BE折起，使平面DEBC垂直平面ABE，如圖2，連結AD，AC．設M是AB上的動點．
（Ⅰ）若M為AB中點，求證：ME∥平面ADC；
（Ⅱ）若AM=

1

3

AB，求三棱錐M-ADC的體積．

Answer 1

分析：（I）取AC中點N，連接MN，DN，ME，由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理可得四邊形MNDE為平行四邊形，進而ME∥ND，結合線面平行的判定定理可得ME∥平面ADC；
（Ⅱ）由AM=

1

3

AB，可得VM-ADC=

1

3

VB-ADC=

1

3

VA-BCD，由面面垂直的性質定理結合平面DEBC⊥平面ABE，可得AE⊥平面DEBC，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）取AC中點N，連接MN，DN，ME，--------------------（1分）
∵M，N分別是AB，AC的中點，
∴MN∥BC且MN=

1

2

BC--------------------（2分）
又DE∥BC且DE=1=

1

2

BC，
∴MN∥DE且MN=DE，
∴四邊形MNDE為平行四邊形．--------------------（4分）
∴ME∥ND，又ME?平面ACD，DN?平面ACD，
∴ME∥平面ADC-----------（6分）
解：（Ⅱ）∵AM=

1

3

AB，
∴VM-ADC=

1

3

VB-ADC=

1

3

VA-BCD．-----------------（8分）
∵平面DEBC⊥平面ABE，平面DEBC∩平面ABE=BE，AE⊥EB，
∴AE⊥平面DEBC，
∴AE=2，即A點到平面DEBC的距離，
又S△BCD=

1

2

×EB×BC=

1

2

×2×2=2------------（10分）
∴VA-BCD=

1

3

×AE×S△BCD=

1

3

×2×2=

4

3

，
∴VM-ADC=

4

9

．-----------------（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積公式，解答（I）的關鍵是證得四邊形MNDE為平行四邊形，進而ME∥ND，（II）的關鍵是由面面垂直的性質定理得到AE⊥平面DEBC．