【題目】已知橢圓C的方程為 
+ 
=1（a＞b＞0），雙曲線 ﹣ =1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4 
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F1 ， F2分別為橢圓C的左，右焦點，過F2作直線l（與x軸不重合）交于橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為E，記直線F1E的斜率為k，求k的取值范圍．
【答案】
（1）解：由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則 
=tan30°= 
，即a2=3b2，
由2c=4 
．c=2 ，則a2+b2=8，
解得：a2=8，b2=2，
∴橢圓的標準方程： 
（2）解：由（1）可知：F2（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，
y1+y2=﹣ 
，x1+x2= 
，
則E（ 
，﹣ 
），
由F1（﹣2，0），則直線F1E的斜率k= 
=﹣ 
，
①當t=0時，k=0，
②當t≠0時，丨k丨= 
= 
≤ 
，
即丨k丨∈（0， 
]，
∴k的取值范圍[﹣ ， ]
【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程及斜率公式，即可求得a2=3b2，c=2 ，即a2+b2=8，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求得斜率丨k丨用t表示，利用基本不等式即可求得k的取值范圍．
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【題目】水培植物需要一種植物專用營養液，已知每投放
（
且
）個單位的營養液，它在水中釋放的濃度
(克/升）隨著時間
(天)變化的函數關系式近似為
，其中
，若多次投放，則某一時刻水中的營養液濃度為每次投放的營養液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中營養液的濃度不低于4(克/升)時，它才能有效.
（1）若只投放一次2個單位的營養液，則有效時間最多可能達到幾天？
（2）若先投放2個單位的營養液，3天后再投放
個單位的營養液，要使接下來的2天中，營養液能夠持續有效，試求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）求函數
的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）當
時，方程
恰有兩個不同的實數根，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）將函數
的圖象向右平移
（
）個單位后所得函數
的圖象關于原點中心對稱，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校一個校園景觀的主題為“托起明天的太陽”，其主體是一個半徑為5米的球體，需設計一個透明的支撐物將其托起，該支撐物為等邊圓柱形的側面，厚度忽略不計．軸截面如圖所示，設
．（注：底面直徑和高相等的圓柱叫做等邊圓柱．）
（1）用
表示圓柱的高；
（2）實踐表明，當球心
和圓柱底面圓周上的點
的距離達到最大時，景觀的觀賞效
果最佳，求此時的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
有如下性質：該函數在
上是減函數，在
上是增函數．
（1）已知
，利用上述性質，求函數
的單調區間和值域；
（2）對于(1)中的函數
和函數
，若對任意
，總存在
，使得
成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖四邊形ABCD為邊長為2的菱形，G為AC與BD交點，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2 
． 
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直線EG與平面EDC所成角的正弦值．
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