Question

【題目】已知Q2=稱為x，y的二維平方平均數，A2=稱為x，y的二維算術平均數，G2=稱為x，y的二維幾何平均數，H2=稱為x，y的二維調和平均數，其中x，y均為正數．

（1）試判斷G2與H2的大小，并證明你的猜想．

（2）令M=A2﹣G2，N=G2﹣H2，試判斷M與N的大小，并證明你的猜想．

（3）令M=A2﹣G2，N=G2﹣H2，P=Q2﹣A2，試判斷M、N、P三者之間的大小關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

先猜想結論，再分析使結論成立的充分條件，一直分析到使猜想成立的充分條件顯然具備，從而猜想得證．

（I）G2≥H2，采用分析法．

欲證G2≥H2，

即證，

即證，

即證，

上式顯然成立，

所以G2≥H2；…3’

（II）M≥N．

欲證M≥N，

即證，

由均值不等式可得：，等號成立的條件是x=y，

所以原命題成立

（III）M≥P≥N．

首先證明M≥P：

欲證M≥P，

即證，

即證，

即證，

即證（x+y）4≥8xy（x2+y2），

即證（x﹣y）4≥0，

上式顯然成立，等號成立的條件是x=y，故M≥P．

再證P≥N：

欲證P≥N，

即證，

即證，當x=y時，上式顯然成立，

當x≠y時，即證，

而此式子在證明M≥P已經成功證明，所以原命題成立