Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=丨x-a丨+|x-1丨，a∈R．
（I ）當a=3時，解不等式 f（x）≤4；
（II）當x∈（-2，1））時，f（x）＞|2x-a-1|．求 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I ）當a=3時，f（x）=丨x-3丨+|x-1丨=，由 f（x）≤4即可求得不等式 f（x）≤4的解集；
（II）由雙絕對值的幾何意義可得f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，分（x-1）（x-a）≥0與（x-1）（x-a）＜0討論，即可求得當x∈（-2，1）時，f（x）＞|2x-a-1|的 a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵a=3時，f（x）=丨x-3丨+|x-1丨=，
∴當x＜1時，由f（x）≤4得4-2x≤4，解得x≥0；
∴0≤x＜1；
當1≤x≤3時，f（x）≤4恒成立；
當x＞3時，由f（x）≤4得2x-4≤4，解得x≤4．
∴3＜x≤4…（4分）
所以不等式f（x）≤4的解集為{x|0≤x≤4}．…（5分）
（Ⅱ）因為f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，
當（x-1）（x-a）≥0時，f（x）=|2x-a-1|；
當（x-1）（x-a）＜0時，f（x）＞|2x-a-1|．…（7分）
記不等式（x-1）（x-a）＜0的解集為A，
則（-2，1）⊆A，
故a≤-2，
所以a的取值范圍是（-∞，-2]．…（10分）
點評：本題考查帶絕對值的函數，考查絕對值不等式的解法，通過對x的范圍的“分類討論”，去掉絕對值符號是關鍵，考查等價轉化思想與方程思想的綜合運用，屬于中檔題．