Question

【題目】設(shè)函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線方程為

（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

(2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，先根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為

求出m=1,n=0，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)第（2）問(wèn)，先把原命題轉(zhuǎn)化為函數(shù)對(duì)任意恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)H（x）的單調(diào)性，檢驗(yàn)每一種情況下H(x)的最大值是否小于零.

試題解析：

（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>.得，

，即所以.所以，

.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）由題得函數(shù)對(duì)任意恒成立，

即不等式對(duì)任意恒成立.

又，當(dāng)即恒成立時(shí)，

函數(shù)遞減，設(shè)，則，所以，即，符合題意；

當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.于是不等式對(duì)任意恒成立，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，

則 ；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)單調(diào)遞增，

，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增.于是當(dāng)時(shí), 成立，不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為： .

點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于得到后如何解不等式>0或<0,只有解出了不等式才能得到函數(shù)H(x)的單調(diào)區(qū)間.本題利用了再構(gòu)造再求導(dǎo)的方法（即二次求導(dǎo)）.當(dāng)我們求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)之后，如果不易解出，可以利用二次求導(dǎo)找不等式的解集，從而找到原函數(shù)的單調(diào)性.