Question

【題目】德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著,以其命名的函數被稱為狄利克雷函數,其中R為實數集,Q為有理數集,以下命題正確的個數是( )

下面給出關于狄利克雷函數f(x)的五個結論:

①對于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;

②函數f(x)偶函數;

③函數f(x)的值域是{0,1};

④若T≠0且T為有理數,則f(x+T)=f(x)對任意的x∈R恒成立;

⑤在f(x)圖象上存在不同的三個點A,B,C,使得△ABC為等邊角形.

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

①分，兩種情況從內到外，利用求值判斷.②分，兩種情況，利用奇偶性定義判斷.③當時，；當時，判斷.④分，兩種情況，利用周期函數的定義判斷.⑤取 ， 判斷.

①當時，，則；當時，，則，所以對于任意的x∈R，都有f(f(x))=1;故正確.

②當時，，；當時，，，所以函數f(x)偶函數;故正確.

③當時，；當時，，所以函數f(x)的值域是{0，1};故正確.

④當時，因為T≠0且T為有理數，所以，則f(x+T)=1=f(x)；當 時，因為T≠0且T為有理數，所以，則f(x+T)=0=f(x)，所以對任意的x∈R恒成立;故正確.

⑤取 ， 構成以為邊長的等邊三角形，故正確.

故選：D