Question

【題目】已知函數．

（1）若，求的單調區間；

（2）證明：只有一個零點．

Answer 1

【答案】解：

（1）當a=3時，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0；

當x∈（，）時，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調遞增，在（，）單調遞減．

（2）由于，所以等價于．

設=，則g ′（x）=≥0，僅當x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點．

綜上，f（x）只有一個零點．

【解析】分析：（1）將代入，求導得，令求得增區間，令求得減區間；（2）令，即，則將問題轉化為函數只有一個零點問題，研究函數單調性可得.

詳解：（1）當a=3時，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0；

當x∈（，）時，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調遞增，在（，）單調遞減．

（2）由于，所以等價于．

設=，則g ′（x）=≥0，僅當x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點．

綜上，f（x）只有一個零點．