Question

【題目】已知橢圓C1 ， 拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，其坐標分別是（3，一2 ），（一2，0），（4，一4），（ ）． （Ⅰ）求C1 ， C2的標準方程；
（Ⅱ）是否存在直線L滿足條件：①過C2的焦點F；②與C1交與不同的兩點M，N且滿足 ？若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設拋物線C2：y2=2px（p≠0），

則有 ，x≠0，

據此驗證4個點知（3，﹣2 ），（4，﹣4）在拋物線上，

∴C2：y2=4x，

設C1： ，（a＞b＞0），

把點（﹣2，0），（ ， ）代入，得：

，解得 ，

∴ 的方程為： ．

（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，

直線l的方程為x=1，直線l交拋物線于M（1， ），N（1，﹣ ），

≠0，不滿足題意，

當直線l的斜率存在時，假設存在直線l，過拋物線焦點F（1，0），

設其方程為y=k（x﹣1），與C1的交點坐標為M（x1，y1），N（x2，y2），

由 ，消去y并整理，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，

∴ ， ，①

y1y2=k（x1﹣1）k（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]，

∴ =﹣ ，②

由 ，即 =0，得x1x2+y1y2=0，

將①，②代入（*）式，得 = ，

解得k=±2，

∴存在直線l滿足條件，且l的方程為2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0

【解析】（Ⅰ）設拋物線C2：y2=2px（p≠0），則有 ，≠0，由此能求出C2：y2=4x，設C1： ，（a＞b＞0），由題意得 ，由此能求出 的方程為： ．（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，直線l交拋物線于M（1， ），N（1，﹣ ）， ≠0，不滿足題意，當直線l的斜率存在時，假設存在直線l，過拋物線焦點F（1，0），設其方程為y=k（x﹣1），與C1的交點坐標為M（x1，y1），N（x2，y2），由 ，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線l的方程．