Question

【題目】如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別是棱DD1、C1D1的中點． （Ⅰ）證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
（Ⅱ）證明：B1F∥平面A1BE；
（Ⅲ）若正方體棱長為1，求四面體A1﹣B1BE的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，

∴B1C1⊥平面ABB1A1；

∵A1B平面ABB1A1，

∴B1C1⊥A1B．

又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，

∴A1B⊥平面ADC1B1，

∵A1B平面A1BE，

∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（Ⅱ）證明：連接EF，EF∥ ，且EF= ，

設AB1∩A1B=O，

則B1O∥C1D，且 ，

∴EF∥B1O，且EF=B1O，

∴四邊形B1OEF為平行四邊形．

∴B1F∥OE．

又∵B1F平面A1BE，OE平面A1BE，

∴B1F∥平面A1BE，

（Ⅲ）解： = = = = ．

【解析】（Ⅰ）由正方體可得：B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥A1B．又A1B⊥AB1，可得A1B⊥平面ADC1B1，即可證明．（Ⅱ）證明：連接EF，利用三角形中位線定理可得四邊形B1OEF為平行四邊形．可得B1F∥OE．即可證明B1F∥平面A1BE，（Ⅲ）利用 = = 即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．