Question

【題目】定義：平面內兩個分別以原點和兩坐標軸為對稱中心和對稱軸的橢圓E1，E2，它們的長短半軸長分別為a1，b1和a2，b2，若滿足a2=a1k，b2=b1k（k∈Z，k≥2），則稱E2為E1的k級相似橢圓，己知橢圓E1: =1，E2為E1的2級相似橢圓，且焦點共軸，E1與E2的離心率之比為2：．

（Ⅰ）求E2的方程；

（Ⅱ）已知P為E2上任意一點，過點P作E1的兩條切線，切點分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)．

①證明：E1在A(x1，y1)處的切線方程為=1；

②是否存在一定點到直線AB的距離為定值，若存在，求出該定點和定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①見解析；②存在一定點到直線的距離為定值1．

【解析】

（Ⅰ）根據相似橢圓的概念，可得，，，然后根據，并結合離心率，簡單計算，可得結果.

（Ⅱ）①聯立方程，可得關于的一元二次方程，然后使用，并根據，可得結果.

②根據①的結論，可得在點的切線方程，根據，可得直線的方程，假設定點，使用點到線的距離公式，根據式子為定值，可得結果.

（Ⅰ）由題意知，，，

則，，

而，解得，，

故橢圓，橢圓．

（Ⅱ）①聯立橢圓與直線方程，

，

點在橢圓上，有，

所以，

即直線與橢圓相切．

所以過點的切線方程為．

②由①知，過點的切線方程為，

設，則，即，

兩條切線都經過點，則滿足方程組．

那么點和點都在直線上，

則直線的方程為，即

假設存在一定點到直線的距離為定值，

即為定值，

則，，

故存在一定點到直線的距離為定值1．