在直角坐標系
中，已知中心在原點，離心率為
的橢圓E的一個焦點為圓
的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線
，當直線都與圓
相切時，求P點坐標.
（1）
；（2）
．
解析試題分析：（1）圓心坐標是已知的，故橢圓的焦點是已知的，從而半焦距
已知了，又有離心率，故半長軸長
也能求出，從而求出
，而根據題意，橢圓方程是標準方程，可其方程易得；（2）設P點坐標為
，再設一條切線的斜率為
，則另一條切線的斜率為
，三個未知數
需要三個方程，點P在橢圓上，一個等式，兩條直線都圓的切線，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑又得到兩個等式，三個等量關系，三個未知數理論上可解了，當然具體解題時，可設切線斜率為，則點斜率式寫出直線方程，利用圓心到切線距離等于圓半徑得出關于的方程，而
是這個方程的兩解，由韋達定理得
，這個結果又是
，就列出了關于P點坐標的一個方程，再由P點在橢圓上，可解出P點坐標．
試題解析：（1）圓的標準方程為
，圓心為
，所以
，又
，
，
，而據題意橢圓的方程是標準方程，故其方程為． 4分
（2）設
，得
∵
，依題意
到
的距離為
整理得
同理
∴是方程
的兩實根 10分
12分
∴
14分
16分
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）圓的切線．
每課必練系列答案
巧學巧練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的兩個焦點為F1，F2，橢圓上一點M
滿足
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線L：y=
與橢圓恒有不同交點A，B，且
（O為坐標原點），求實數k的范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F1，F2是離心率為
的橢圓C：
(a＞b＞0)的左、右焦點，直線
：x＝－
將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求
·
的值；
（2）如果·＝－4，證明直線l必過一定點，并求出該定點．
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已知圓
，若焦點在
軸上的橢圓
過點
，且其長軸長等于圓
的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的直線
與
，與圓交于
、
兩點，交橢圓于另一點
，設直線的斜率為
，求弦
長；
（3）求
面積的最大值．
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已知雙曲線
的離心率為
，右準線方程為
,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線
與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C:
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
(1)求橢圓
的方程；
(2)若過點
(2，0)的直線與橢圓相交于兩點
，設
為橢圓上一點，且滿足
（
為坐標原點），當
時，求實數
取值范圍．
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軸上的拋物線被直線
截得的弦長為
，求拋物線的方程.
經過點
，
.
為橢圓
的最大值.