Question

已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在以雙曲線C的實(shí)軸長為直徑的圓上，求m的值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）因?yàn)檫@是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，故由雙曲線的幾何性質(zhì)知，這樣就可求出雙曲線方程；（2）這是直線與雙曲線相交，且與相交弦中點(diǎn)有關(guān)問題，一般方法就是把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去得關(guān)于的方程，再由韋達(dá)定理得，如果記AB中點(diǎn)為，則，從而可把中點(diǎn)坐標(biāo)用參數(shù)表示出來了，最后利用中點(diǎn)M在圓上，可求出值.
試題解析：（1）由已知得，解得，∴，
∴雙曲線方程為.                4分
（2）以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的方程是：，把代入雙曲線方程劉：
，令，的中點(diǎn)，則有：
 ，，代入圓方程
中得： ，所以.
考點(diǎn)：（1）雙曲線的幾何性質(zhì)；（2）直線與雙曲線相交問題.