Question

求經過l₁：2x-3y+2=0與l₂：3x-4y-2=0的交點，且分別滿足下列條件的直線l的方程．
（1）過點（1，1）；
  （2）平行于直線2x-y-2=0．

Answer 1

分析：法一：由

2x-3y+2=0 3x-4y-2=0

得交點坐標為（14，10）
（1）由點（14，10）及（1，1）知所求直線l的斜率，根據點斜式可求直線方程
（2）由題意可得所求直線l的斜率為2，由點（14，10）及斜率2利用直線的點斜式可求
解法二（利用直線系方程）：設所求直線l的方程為2x-3y+2+λ（3x-4y-2）=0，即（3λ+2）x-（4λ+3）y+2-2λ=0
（1）將點（1，1）代入方程可求λ，進而可求直線方程
（2）由直線平行可得

3λ+2

4λ+3

=2，從而可求λ，進而可求直線方程

解答：解：法一：由

2x-3y+2=0 3x-4y-2=0

得直線l₁與直線l₂的交點坐標為（14，10）
（1）由點（14，10）及（1，1）知所求直線l的斜率為

9

13

所以所求直線l的方程為9x-13y+4=0
（2）直線2x-y-2=0的斜率為2，所以所求直線l的斜率也為2
由點（14，10）及斜率2可得所求直線l的方程為2x-y-18=0
解法二：設所求直線l的方程為2x-3y+2+λ（3x-4y-2）=0
即（3λ+2）x-（4λ+3）y+2-2λ=0----（*）
（1）將點（1，1）代入方程（*）得λ=

1

3

將λ=

1

3

代入方程（*）得所求直線l的方程為9x-13y+4=0
（2）由方程（*）得斜率為

3λ+2

4λ+3

，直線2x-y-2=0的斜率為2
所以

3λ+2

4λ+3

=2，解得λ=-

4

5

，將λ=-

4

5

代入方程（*）得
直線l的方程為2x-y-18=0

點評：本題主要考查了利用直線的點斜式求解直線的方程，解題的關鍵是要熟練應用兩直線平行轉換斜率的相等關系，還要注意解法2中的直線系的設法．