Question

已知點(diǎn)P是雙曲線C：左支上一點(diǎn)，F₁，F₂是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，PF₂與兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)（如圖），點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，則雙曲線的離心率是(   )

A．             B．2                C．              D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試題分析：在三角形中，點(diǎn)N恰好平分線段PF₂，點(diǎn)O恰好平分線段F₁F₂，

∴ON∥PF₁，又ON的斜率為，∴tan∠PF₁F₂= ，

在三角形中，設(shè)PF₂=bt．PF₁=at，

根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①

在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②

由①②消去t，得，又c²=a²+b²，

∴a²=（b-a）²，即b=2a，∴雙曲線的離心率.選A.

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義和基本知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題．