Question

已知點P是雙曲線C：

x2

8

-

y2

4

=1上的動點，F₁，F₂分別是雙曲線C的左、右焦點O為坐標原點，則

|PF1|+|PF2|

|OP|

的取值范圍是（　　）

• A、[0，6]
• B、（2，

  6

  ]
• C、（

  1

  2

  ，

  6

  2

  ]
• D、[0，

  6

  2

  ]

Answer 1

分析：設P（x，y） 則y²=

x2

2

-4，e=

6

2

，由焦半徑公式能夠得出|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，代入所求的式子并化簡得到

6

3 2 - 4 x2

，再由雙曲線中x²≥8，求出范圍即可．

解答：解：設P（x，y） x＞0，由焦半徑公式|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，
則

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

ex+a+ex-a

x2+y2

   （y²=

x2

2

-4，e=

6

2

），
則原式=

2ex

x2+ x2 2 -4

=

6 x

3 2 x2-4

=

6

3 2 -  4 x2

，又因為雙曲線中x²≥8．
所以

6

3 2 - 4 x2

∈（2，

6

]．
同理當x＜0時，|PF₁|=a-ex，|PF₂|=-ex-a，
仍可推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

6

3 2 - 4 x2

∈（2，

6

]．
即推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

的取值范圍為（2，

6

]．

點評：本題考查了雙曲線的性質，由焦半徑公式得到|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a是解題的關鍵，要注意分x＞0和x＜0兩種情況作答，屬于中檔題．