Question

已知動圓C經過點A（2，-3）和B（-2，-5）．
（1）當圓C面積最小時，求圓C的方程；
（2）若圓C的圓心在直線3x+y+5=0上，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）以AB為直徑的圓即為面積最小的圓．由此算出線段AB的中點坐標和AB長，即可寫出所求圓C的方程；
（2）由圓的性質，AB的中垂線與直線3x+y+5=0的交點即為圓C的圓心，由此聯解直線方程得圓心C（-1，-2），再由兩點的距離公式算出半徑r=

10

，即可得到所求的圓C的方程．

解答：解：（1）要使圓C的面積最小，則AB為圓C的直徑，-------------（2分）
圓心C（0，-4），半徑r=

1

2

|AB|=

5

-----------------------（4分）
所以所求圓C的方程為：x²+（y+4）²=5．---------------------（6分）
（2）∵kAB=

1

2

，AB中點為（0，-4），
∴AB中垂線方程為y+4=-2x，即2x+y+4=0-------------------（8分）
解方程組

2x+y+4=0 3x+y+5=0

得：

x=-1 y=-2

，所以圓心C為（-1，-2）．---------（10分）
根據兩點間的距離公式，得半徑r=

10

，--------------------（11分）
因此，所求的圓C的方程為（x+1）²+（y+2）²=10．-------------（12分）

點評：本題給出定點A、B，求經過A、B兩點并滿足特殊條件的圓方程．著重考查了圓的方程、直線與圓的位置關系和兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．