Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）ex﹣ ax2（a∈R）．
（1）當a≤1時，求f（x）的單調區間；
（2）當x∈（0，+∞）時，y=f′（x）的圖象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的圖象上方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）

當a≤0時，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當0＜a≤1時，令f'（x）=0得x=0或x=lna．

（i） 當0＜a＜1時，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，x∈（lna，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

（ii） 當a=1時，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，無減區間；

綜上，當a≤0時，f（x）的單調增區間是（0，+∞），單調減區間是（﹣∞，0）；

當0＜a＜1時，f（x）的單調增區間是（﹣∞，lna）和（0，+∞），單調減區間是（lna，0）；

當a=1時，f（x）的單調增區間是（﹣∞，+∞），無減區間．

（2）解：由（1）知f'（x）=xex﹣ax

當x∈（0，+∞）時，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方；

即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對x∈（0，+∞）恒成立；

即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對x∈（0，+∞）恒成立；

記 g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），

∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；

（i） 當 時，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴g'（x）＞g'（0）=0；

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增；

∴g（x）＞g（0）=0，符合題意；

（ii） 當 時，令h'（x）=0得x=ln（2a）；

∴x∈（0，ln（2a））時，h'（x）＜0，

∴g'（x）在（0，ln（2a））上單調遞減；

∴x∈（0，ln（2a））時，g'（x）＜g'（0）=0；

∴g（x）在（0，ln（2a））上單調遞減，

∴x∈（0，ln（2a））時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意；

綜上可得a的取值范圍是

【解析】（1）首先求出f（x）的導函數，分類討論a的大小來判斷函數的單調性；（2）利用轉化思想：當x∈（0，+∞）時，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對x∈（0，+∞）恒成立；
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．