Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形和都是直角梯形，，，，，，，是的中點。

（1）求證：；

（2）已知是的中點，求證：；

（3）求直線與平面所成角的大小。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）取PD中點G，連結GF，AG，推導出四邊形ABFG是平行四邊形，從而AG∥BF，進而能證明BF∥平面ADP．

（2）已知O是BD的中點，證明FO⊥BD，AO⊥BD，即可證明：BD⊥平面AOF．

（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，由（2）可知為平面的法向量，利用向量法直線與平面所成角的大小．

（1）取PD中點G，連結GF，AG，

∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中點，

∴FGAB，∴四邊形ABFG是平行四邊形，∴AG∥BF，

∵AG平面ADP，BF平面ADP，∴BF∥平面ADP．

（2）由（1）可知FM＝PE，DM＝BM＝2PE，∴FD＝FBPE，

∵O是BD的中點，∴FO⊥BD，

∵AD＝AB，O是BD的中點，∴AO⊥BD，

∵AO∩FO＝O，

∴BD⊥平面AOF．

（3）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PE＝1，則B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F（0，2，1），

（2，2，0），（0，-1，1），

由（2）可知為平面的法向量，

設直線與平面所成角為θ，

則sinθ=cos<>．

∴θ=．