Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數方程為（為參數，）.以為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知曲線與曲線交于兩點，且，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）曲線普通方程，曲線的直角坐標方程；（2）或.

【解析】

（1）將代入 得的普通方程；

將左右同時乘以得，再化簡得到曲線的直角坐標方程。

（2）將代入，得，利用韋達定理與參數的幾何意義可求出實數的值。

（1）曲線參數方程為，

則其普通方程，

因為曲線的極坐標方程為，

所以，

即，即曲線的直角坐標方程.

（2）設兩點所對應參數分別為，，

將代入，得，

要使與有兩個不同的交點，

則，即，

由韋達定理有，根據參數的幾何意義可知，，

又由可得，即或，

∴當時，有，符合題意.

當時，有，符合題意.

綜上所述，實數的值為或.