Question

已知兩個正數a、b的等差中項是5，則a²、b²的等比中項的最大值為（　　）

• A、100
• B、50
• C、25
• D、10

Answer 1

分析：由a與b的等差中項為5，根據等差數列的性質可知a+b等于10，然后利用基本不等式得到a+b≥2

ab

，把a+b的值代入即可得到

ab

小于等于5，兩邊平方即可得到ab的最大值為25，設x為a²、b²的等比中項，根據等比數列的性質得到x²等于a²b²，由a與b是正數得到x等于ab，所以x的最大值也為25，即為a²、b²的等比中項的最大值．

解答：解：由a與b的等差中項為5，得到

a+b

2

=5，
即a+b=10≥2

ab

，所以

ab

≤5，
設x為a²與b²的等比中項，所以x=

a2b2

=ab=(

ab

)2≤5²=25，
則a²、b²的等比中項的最大值為25．
故選C．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列和等比數列的性質化簡求值，掌握基本不等式在最值問題中的運用，是一道綜合題．