Question

已知各項均為正數的數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常數p的值；  
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=S_n+λa_n，（n∈N*）若數列{b_n}從第二項起每一項都比它的前一項大，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁=1及把n=1代入到遞推公式中2S_n=2pa_n²+pa_n-p可求p
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，可得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2），兩式相減整理可得 （a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
結合已知數列{a_n}各項均為正數可得，，由等差數列的通項公式可求
（3）由題意可得數列{b_n}是遞增即b_n+1＞b_n對n∈N^*恒成立，由（2）可得，＞0恒成立，化簡成λ＞-（n+2）恒成立，從而可求
解答：解：（1）由a₁=1及2S_n=2pa_n²+pa_n-p（n∈N^*），得：2=2p+p-p∴p=1…（4分）
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1①
得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2，n∈N^*） ②
由①-②得   2a_n=2（a_n²-a_n-1²）+（a_n-a_n-1）
即：2（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0∴（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
由于數列{a_n}各項均為正數，
∴2a_n-2a_n-1=1即  （n≥2，n∈N^*）…（6分）
∴數列{a_n}是首項為1，公差為的等差數列，∴數列{a_n}的通項公式是   …（9分）
（3）由題意，數列{b_n}是遞增的，b_n+1＞b_n，即b_n+1＞b_n對n∈N^*恒成立，
由（2）可得，＞0恒成立，
∴λ＞-（n+2）恒成立，
∴λ＞-3．
點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，要注意對n=1的檢驗，及利用遞推公式構造特殊（等差）數列求通項公式，利用數列的單調性求解數列的最大（最小）項的問題的考查是本題的一個難點．