Question

（2013•蚌埠二模）已知數(shù)列a，b，c是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d＞0），在a，b之間和b，c之間共插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+3個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q．
（I）求證：|q|＞1；
（II）若a=1，n=1，求d的值．

Answer 1

分析：（1）先由條件求出知qn+2=

c

a

，又有c=a+2d代入即可得|qⁿ⁺²|＞1，就可證明結(jié)論；
（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后對(duì)插入的數(shù)分所在位置所存在的兩種情況分別求出d的值即可．

解答：解：（1）由題意知qn+2=

c

a

，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=

c

a

=1+

2d

a

＞1
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正數(shù)，故|q|＞1．
（2）由a，b，c是首項(xiàng)為1、公差為d的等差數(shù)列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的這一個(gè)數(shù)位于a，b之間，則1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根為d=

1+ 5

2

若插入的這一個(gè)數(shù)位于b，c之間，則1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程無正根．
故所求公差d=

1+ 5

2

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)以及分類討論思想在解題中的應(yīng)用．