Question

設函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，并滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，若0＜x＜1時f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數
（3）解不等式f（x）-f（x-1）≥2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根據定義在（0，+∞）上的函數f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構造關于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根據已知中定義在（0，+∞）上的函數f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且0＜x＜1時，f（x）＜0恒成立，結合函數單調性的證明方法--作差法（定義法）我們即可得到f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（3）結合（1）、（2）的結論，我們可將不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）轉化為一個指數不等式，進而利用換元法可將問題轉化為一個二次不等式恒成立問題，解答后即可得到滿足條件的實數k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
證明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f（

y

x

）=f（y）-f（x），
設x₁＞x₂＞0，f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

•x1)-f(x1)
=f(

x2

x1

)+f(x1)-f(x1)
=f(

x2

x1

)
又x₁＞x₂＞0，
∴0＜

x2

x1

＜1，f(

x2

x1

)＜0
即f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數；（10分）
（3）∵f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2
由f（x）-f（x-1）≥f（4）
從而得到

x＞0 4x-4＞0 x≥4x-4

，
解得x∈(1，

4

3

]

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的性質，其中（1）的關鍵是“湊配”思想的應用，（2）的關鍵是將f（xy）=f（x）+f（y），變型為f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

•x1)-f(x1)；（3）的關鍵是由f（x）-f（x-1）≥f（4）得到

x＞0 4x-4＞0 x≥4x-4