Question

 本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。

（1）選修4-2：矩陣與變換

已知向量=，變換T的矩陣為A=，平面上的點(diǎn)P（1，1）在變換T

作用下得到點(diǎn)P′（3，3），求A⁴.

（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

直線與圓（>0）相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)

P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求實(shí)數(shù)的值

（3）選修4-5：不等式選講

對(duì)于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，試求2+的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）選修4-2：矩陣與變換

本題主要考查矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力

法1：=     即    =2，

故A= .             ------------------------------------ 2分

由λ₁=－1，λ₂=3.

當(dāng)λ₁=－1時(shí)，矩陣A的特征向量為=.

當(dāng)λ₂=3時(shí)，矩陣A的特征向量為=. -----------------------------4分

故A⁴ =A⁴（+2）

=A⁴+2A⁴

=(－1)⁴ +2·3⁴

=.          ------------------------------------7分

法2：由=,

即       ，

故A=.             ------------------------------------2分

A²=，

A³=，

A⁴ ， ------------------------------------5分

A⁴=. -----------------------------------7分

（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

本題主要考查直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力.

法1：直線參數(shù)方程可化為：y=(x+1) --------------------------------1分

聯(lián)立方程   ，

消去，得：4+6+3－r=0 . ------------------------------------2分

設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（不妨設(shè)x₁<x₂），則

Δ=36－16（3－）>0 ， …………①

x₁+x₂=，             …………②

x_1·x₂=，               …………③-----------------------------------3分

，   …………④-----------------------------------5分

由①②③④解得=3.          -----------------------------------7分

法2：將直線參數(shù)方程代入圓方程得

t²－t+1－=0            -----------------------------------1分

設(shè)方程兩根為t₁、t₂，則

Δ=1－4（1－）>0   >.

t₁+t₂=1，t₁·t₂=1－ .…………（*）-----------------------------------3分

由參數(shù)t的幾何意義知

 或.    ---------------------------5分

由，解得=3，

由，代入（*）得=3，

故所求實(shí)數(shù)r的值為3.         -----------------------------------7分

（3）選修4-5：不等式選講

本題主要考查柯西不等式、絕對(duì)值不等式及其應(yīng)用，考查推理論證與運(yùn)算求解能力

解：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|=1 , -------------2分

故²+²≤1.

(2+)² ≤(2²+1²)( ²+²) ≤5. ---------------------------------4分

由       ,

即取=，時(shí)等號(hào)成立. --------------------------------6分

故(2+)_max=.          -----------------------------------7分