Question

（2012•漳州模擬）本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

a 2 1 b

有一個屬于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

．
（Ⅰ） 求矩陣A；
（Ⅱ） 矩陣B=

1 -1 0 1

，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
已知直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

x=t-3  y= 3 t

（t為參數）．以直角坐標系xOy中的原點O為 極點，x軸的非負半軸為極軸，圓C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，
（Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐標方程；
（Ⅱ） P為圓C上的點，求P到l距離的取值范圍．
（3）選修4-5：不等式選講
已知關于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據矩陣A=

a 2 1 b

有一個屬于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

，可得

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，從而可矩陣A；
（Ⅱ）先計算AB，從而可得點O，M，N變成點O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），即可計算△O'M'N'的面積；（2）（Ⅰ）直線l的參數方程消去參數，可得普通方程，圓C的極坐標方程利用極坐標與直角坐標的互化公式可得直角坐標方程；
（Ⅱ）化圓的普通方程為標準方程，確定圓心與半徑，求出點C到l的距離，從而可求P到l距離的取值范圍；
（3）求出|x-1|+|x+2|的最小值，從而|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5對?x∈R恒成立，等價于a²+2|a|-5≤3，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）（Ⅰ）由已知得

a 2 1 b

 

2 -1

=1•

2 -1

，∴

2a-2=2  2-b=-1 ，

解得

a=2  b=3

，故A=

2 2 1 3

．
（Ⅱ）AB=

2 2 1 3

1 -1 0 1

=

2 0 1 2

，
∴(AB)

0 0

=

2 0 1 2

0 0

=

0 0

，(AB)

2 -1

=

2 0 1 2

2 -1

=

4 0

，(AB)

0 2

=

2 0 1 2

0 2

=

0 4

，
即點O，M，N變成點O′（0，0），M′（4，0），N′（0，4），△O'M'N'的面積為

1

2

×4×4=8．
（2）（Ⅰ）直線l的參數方程為

x=t-3① y= 3 t ②

（t為參數），①×

3

-②，可得普通方程為

3

x-y+3

3

=0，
圓C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ+3=0，化為直角坐標方程為x²+y²-4x+3=0．…（4分）
（Ⅱ） C的標準方程為（x-2）²+y²=1，圓心C（2，0），半徑為1，
點C到l的距離為 d=

2 3 -0+3 3

2

=

5 3

2

，
∴P到l距離的取值范圍是[

5 3

2

-1 ，  

5 3

2

+1]．
（3）∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴|x-1|+|x+2|≥a²+2|a|-5對?x∈R恒成立，等價于a²+2|a|-5≤3，
即（|a|-2）（|a|+4）≤0
∴|a|≤2，
∴a的取值范圍是[-2，2]．

點評：本題考查矩陣、參數方程與極坐標方程、考查不等式問題，解題的關鍵是明確方法、掌握公式．