Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，為直角三角形，，且.

（1）證明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.
（2）作DE的中點F，連接OF，AF，由于O是DB的中點，且OF∥BE，可知∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角；設正方形ABCD的邊長為2，則，由于，AB=2AE，
可知，，則，又，∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故異面直線BE與AC所成的角的余弦值為.
試題解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分
又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，                        4分
所以DB⊥平面AEC，BD面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
（2）作DE的中點F，連接OF，AF，

∵O是DB的中點，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角。 8分
設正方形ABCD的邊長為2，
則，     9分
∵，AB=2AE，
∴，，∴                  10分
又，∴=,∴∠FOA==
∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為 12分.
考點：1.直線與平面垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理；2.異面直線成角；3.余弦定理的推論.