Question

如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn),

(1)求證:AM∥平面BDE;

(2)求二面角A-DF-B的大小;

(3)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與BC所成的角是60°.

                     

Answer 1

(1)證明:記AC與BD的交點(diǎn)為O,連結(jié)OE,

∵O,M分別是AC,EF的中點(diǎn),ACEF是矩形,

∴四邊形AOEM是平行四邊形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

(2)解:在平面AFD中,過A點(diǎn)作AS⊥DF于點(diǎn)S,連結(jié)BS,

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴AS是BS在平面ADF上的射影.

由三垂線定理得BS⊥DF,

∴∠BSA是二面角ADFB的平面角.

在Rt△ASB中,AS=,AB=,

∴tan∠ASB=,∠ASB=60°.

∴二面角ADFB的大小為60°.

(3)解:設(shè)CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,則PQ∥BC,

∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,AB∩AF=A,

∴PQ⊥平面ABF,QF平面ABF.

∴PQ⊥QF.

在Rt△PQF中,∠FPQ=60°,PF=2PQ,

∵△PAQ為等腰直角三角形,

∴PQ=(2-t).

又∵△PAF為直角三角形,

∴PF=.

∴=2×(2-t).

∴t=1或t=3(舍去),

即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn).