Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證AM∥平面BDE，直線證明直線AM平行平面BDE內(nèi)的直線OE即可，也可以利用空間直角坐標(biāo)系，求出向量

AM

，在平面BDE內(nèi)求出向量

NE

，證明二者共線，說明AM∥平面BDE，
（Ⅱ）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，說明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，求出

NE

•

DB

=0，

NE

•

NF

=0說明

NE

是平面DFB的法向量，求出平面DAF的法向量

AB

=(-

2

，0，0)，然后利用數(shù)量積求解即可．

解答：解：方法一
（Ⅰ）記AC與BD的交點為O，連接OE，
∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，
∴AM∥OE
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（Ⅱ）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂線定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角
在Rt△ASB中，AS=

6

3

，AB=

2，

∴tan∠ASB=

3

，∠ASB=60°，
∴二面角A-DF-B的大小為60°
方法二
（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AC∩BD=N，連接NE，
則點N、E的坐標(biāo)分別是（

2

2

，

2

2

，0)、（0，0，1），
∴

NE

=（-

2

2

，-

2

2

，1)，
又點A、M的坐標(biāo)分別是
（

2

，

2

，0）、（

2

2

，

2

2

，1)
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1)
∴

NE

=

AM

且NE與AM不共線，
∴NE∥AM
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴

AB

=(-

2

，0，0)為平面DAF的法向量
∵

NE

•

DB

=（-

2

2

，-

2

2

，1)•(-

2

，

2

，0)=0，
∴

NE

•

NF

=（-

2

2

，-

2

2

，1)•(

2

，

2

，0)=0得

NE

⊥

DB

，

NE

⊥

NF

∴NE為平面BDF的法向量
∴cos＜

AB，

NE

＞=

1

2

∴

AB，

NE

的夾角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°

點評：本題考查直線與平面平行，二面角的知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題