Question

已知函數，（）
（1）若函數存在極值點，求實數b的取值范圍；
（2）求函數的單調區間；
（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由

Answer 1

（1）；（2）當時，，函數的單調遞增區間為；
當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（3）對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，滿足條件.

試題分析：（1）求，要函數由極值，也就是有實數解，由于是關于的二次函數，則由便求得的取值范圍；（2）求，需要對實數進行分類討論，或，在這兩種情況下分別求出函數的單調區間，注意分類討論問題，應弄清對哪個字母分類討論，分類應不重不漏；（3）是探索性問題，要說明存在是以O為直角頂點的直角三角形，
且斜邊中點在y軸上，需要證明，該方程有解，要對進行分類討論分別說明.
試題解析：（1），若存在極值點，
則有兩個不相等實數根.
所以，解得 .
（2），
當時，，函數的單調遞增區間為；
當時，，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
當且時，
假設使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上.
則且.
不妨設.故，則.
，該方程有解，
當時，，代入方程得，
即，而此方程無實數解；
當時，則；
當時，，代入方程得，即，
設，則在上恒成立.
∴在上單調遞增，從而，則值域為.
∴當時，方程有解，即方程有解.
綜上所述，對任意給定的正實數，曲線上總存在兩點，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上.