Question

設函數．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調區間；
（3）在（2）的條件下，設函數，若對于[1，2]，
[0，1]，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1) ；（2）遞增區間為（1,2），遞減區間為（0,1），；（3）.

試題分析：(1)將代入，分別得到，，再由點斜式得到在處的切線方程為；（2）將代入得到，從而得到遞增區間為（1,2），遞減區間為（0,1），；（3）先將題設條件轉化為在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到，然后討論的范圍，又在[1,2]上最小值為.由單調性及從而得到的取值范圍為.
試題解析：(1)函數的定義域為
，
當時，，，
，故.
所以在處的切線方程為.
(2)當時，.
故當或時，；當時，.
所以函數的遞增區間為（1,2），遞減區間為（0,1），.
(3)由（2）知，在（1,2）上為增函數，
所以在[1,2]上的最小值為，
若對于[1，2]，[0，1]，使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.
又，
當時，在[0,1]上為增函數，與題設不符.
當時，，由及，得；
當時，在[0,1]上為減函數，及得.
綜上所述，的取值范圍為.