【題目】已知函數
.
(1)討論函數
在區間
上的單調性；
(2)已知函數
，若
，且函數
在區間
內有零點，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：（1）先求導數： 
，再根據導函數符號是否變化分類討論：當
時， 
，當
時， 
，當
時，在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增.（2）先求函數
導數
，因為
，結合（1）結論得： 
，因此
， 
， 
,由于
，所以
恒成立，解
， 
得
的取值范圍.
試題解析：解：(1)由題得
，所以
.
當
時， 
，所以
在
上單調遞增；
當
時， 
，所以
在
上單調遞減；
當
時，令
，得
，
所以函數
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增.
綜上所述，當
時， 
在
上單調遞增；
當
時，函數
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增；
當
時，所以
在
上單調遞減.
(2) 
， 
，
設
為
在區間
內的一個零點，則由
，可知
在區間
上不單調，則
在區間
內存在零點
，同理， 
在區間
內存在零點
，所以
在區間
內至少有兩個零點.
由(1)知，當
時， 
在
上單調遞增，故
在
內至多有一個零點，不合題意.
當
時， 
在
上單調遞減，故
在
內至多有一個零點，不合題意，所以
，
此時
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增.
因此， 
， 
，必有
， 
.
由
，得
， 
.
又
， 
，解得
.
小學課時特訓系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數 
（1）當 
時，求曲線 
在點 
處的切線方程；
（2）當 
時，判斷方程 
實根個數.
（3）若 
時，不等式 
恒成立，求實數 m 的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】據市場調查，某種商品一年內每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋
）＋b （A＞0，ω＞0，｜ 
｜＜
）的模型波動（x為月份），已知3月份達到最高價9千元，7月份價格最低為5千元，根據以上條件可確定f（x）的解析式為
A. f（x）＝2sin（
x－
）＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）
B. f（x）＝9sin（
x－
） （1≤x≤12，x∈N＋）
C. f（x）＝2
sin
x＋7 （1≤x≤12，x∈N＋）
D. f（x）＝2sin（
x＋
）＋7 （1≤x≤2，x∈N＋）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線 
的右焦點為F(c,0)．
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
（2）以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A ， 過A作圓的切線，斜率為
，求雙曲線的離心率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】心理學家發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：（單位：人）
（1）能否據此判斷有97．5％的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
（2）經過多次測試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
附表：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學藝術專業400名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
（Ⅱ）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40,50）內的人數；
（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．
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