Question

已知點A（-1，1），B（1，1），點P是直線l：y=x-2上的一動點，當∠APB最大時，則過A，B，P的圓的方程是

x²+y²=2

．

Answer 1

分析：根據題意得到經過A和B點，且圓心為原點的圓O與直線y=x-2相切時，若設切點為K，此時∠AKB最大，即P與K重合，若P在其他位置，即P在圓O外時，可得出∠APB比∠AKB小，設出圓的標準方程為x²+y²=r²，由A在圓上，求出|OA|的長，即為圓的半徑，即可確定出圓的標準方程．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

當圓心為原點的圓過A和B，且與直線y=x-2相切時，設切點為點k，
此時∠AKB為最大角，點P在點K的位置，即∠APB此時最大，
設圓的方程為x²+y²=r²，
∵A在圓O上，A（-1，1），
∴圓的半徑r=|OA|=

(-1)2+12

=

2

，
則所求圓的方程為x²+y²=2．
故答案為：x²+y²=2

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：兩點間的距離公式，直線與圓相切的性質，其中得出當圓心為原點的圓過A和B，且與直線y=x-2相切時，切點K為∠APB最大P的位置時解本題的關鍵．