Question

在平面直角坐標系xoy中，已知點A（-1，1），P是動點，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA
（1）求點P的軌跡C的方程
（2）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且

PQ

=λ

OA

，直線OP與QA交于點M．
問：是否存在點P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點P（x，y）．由于k_OP+k_OA=k_PA，利用斜率計算公式可得

y

x

+(-1)=

y-1

x+1

，化簡即為點P的軌跡方程．
（2）假設存在點P(x1，

x

2 1

)，Q(x2，

x

2 2

)．使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM，分兩種情況討論：
一種是點M為線段AQ的中點，另一種是點A是QM的一個三等分點．利用

PQ

=λ

OA

，可得PQ∥OA，得k_PQ=k_AO=-1．再利用分點坐標公式，解出即可判斷是否符合條件的點P存在．

解答：解：（1）設點P（x，y）．∵k_OP+k_OA=k_PA，∴

y

x

+(-1)=

y-1

x+1

，化為y=x²（x≠0，-1）．即為點P的軌跡方程．
（2）假設存在點P(x1，

x

2 1

)，Q(x2，

x

2 2

)．使得△PQA和△PAM的面積滿足
S_△PQA=2S_△PAM，
①如圖所示，點M為線段AQ的中點．
∵

PQ

=λ

OA

，∴PQ∥OA，得k_PQ=k_AO=-1．
∴

x 2 2 - x 2 1 x2-x1 =-1 -1+x2 2 = x1 2

，解得

x1=-1 x2=0

．
此時P（-1，1），Q（0，0）分別與A，O重合，因此不符合題意．
故假設不成立，此時不存在滿足條件的點P．
②如圖所示，當點M在QA的延長線時，由S_△PQA=2S_△PAM，
可得

QA

=2

AM

，
∵

PQ

=λ

OA

，∴

PO

=2

OM

，PQ∥OA．
由PQ∥OA，可得k_PQ=k_AO=-1．
設M（m，n）．
由

QA

=2

AM

，

PO

=2

OM

，
可得：-1-x₂=2（m+1），-x₁=2m，
化為x₁-x₂=3．
聯立

x1-x2=3 x 2 2 - x 2 1 x2-x1 =-1

，解得

x1=1 x2=-2

，
此時，P（1，1）滿足條件．
綜上可知：P（1，1）滿足條件．

點評：熟練掌握拋物線的標準方程及其性質、斜率計算公式、中點坐標計算公式、三角形的面積計算公式、反證法等是解題的關鍵．