Question

已知△ABC是腰長為2的等腰直角三角形（如圖1），∠BCA=90°，在邊AC、AB上分別取點E、F、，使得EF∥BC，把△AEF沿直線EF折起，使∠AEC=90°，得四棱錐A-ECBF（如圖2）．在四棱錐A-ECBF中，
（I）求證：CE⊥AF； 
（II）當AE=EC時，試在AB上確定一點G，使得GF∥面AEC，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用線面垂直的判定定理，證明CE⊥面AEF，從而可得CE⊥AF； 
（II）取AB中點G，利用線面平行的判定定理，可得GF∥面AEC．

解答：（Ⅰ）證明：∵△ABC中，∠BCA=90°，且EF∥BC，∴EF⊥CE
又∵∠AEC=90°，∴CE⊥AE，
又∵AE∩EF=E，AE、EF?面AEF
∴CE⊥面AEF
∵AF?面AEF，
∴CE⊥AF…（8分）
（Ⅱ）解：取AB中點G，可得GF∥面AEC…（9分）
證明如下：取AC中點M，連結GF、EM、GM，
∵AF=FB，EC=EA，∴EF∥BC，EF=

1

2

BC
∵G、M分別是AB、AC的中點，GM∥BC，GM=

1

2

BC
∴EF∥GM，EF=GM，
∴四邊形EFGM是平行四邊形，
∴GF∥EM
∴GF?面AEC，EM?面AEC，
∴GF∥面AEC…（13分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．