Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，點E是棱PA的中點，PB=PD，平面BDE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）設PC=λAB，試判斷平面PAD⊥平面PAB能否成立；若成立，寫出λ的一個值（只需寫出結論）．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設AC∩BD=O，連接OE，

因為底面ABCD為正方形，所以O是AC的中點，又點E是棱PA的中點，

所以EO是的△PAC中位線，所以EO∥PC

因為EO平面BDE，PC平面BDE，

所以PC∥平面BDE．

（Ⅱ）證法一：在△PAB和△PAD中，

因為AB=AD，PB=PD，PA=PA，

所以△PAB≌△PAD，又點E是棱PA的中點，

所以EB=ED，所以EO⊥BD，

因為平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO平面BDE

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥AC，EO⊥BD，

因為EO∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O

所以PC⊥平面ABCD．

證法二：連接PO，

因為底面ABCD是正方形，

所以O是BD的中點，BD⊥AC，又PB=PD，所以PO⊥BD，

又PO∩AC=O，PO平面PAC，AC平面PAC

所以BD⊥平面PAC

又OE平面PAC，所以BD⊥OE，

因為平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO平面BDE

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥AC，EO⊥BD，

因為OE∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O

所以PC⊥平面ABCD．

（Ⅲ）不能成立．

【解析】（Ⅰ）設AC∩BD=O，連接OE，推導出EO∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．（Ⅱ）法一：推導出△PAB≌△PAD，EO⊥BD，從而EO⊥平面ABCD，進而EO⊥AC，EO⊥BD，由此得到PC⊥AC，PC⊥BD，從而能證明PC⊥平面ABCD．

法二：連接PO，推導出BD⊥AC，PO⊥BD，從而BD⊥平面PAC，進而BD⊥OE，由此得到EO⊥平面ABCD，從而EO⊥AC，EO⊥BD，進而PC⊥AC，PC⊥BD，由此能證明PC⊥平面ABCD．（Ⅲ）由PC=λAB，得到平面PAD⊥平面PAB不能成立．

【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．