Question

函數y=log_a（x+4）-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值為______．

Answer 1

∵y=log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（1，0），
∴函數y=log_a（x+4）-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（-3，-2），
又點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-3m-2n=-1，3m+2n=1．
∵mn＞0，且3m+2n=1，
∴m＞0，n＞0．
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（3m+2n）=3+2+

2n

m

+

3m

n

≥5+2

2n m • 3m n

=5+2

6

．
當且僅當

3m+2n=1 3m2=2n2

，
即m=1-

6

3

，n=

6

2

-1時取“=”．
故答案為：5+2

6

．