Question

【題目】如圖所示，正三棱柱的所有棱長都為，為中點．

（1）求證：⊥平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連結，得，所以平面，取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出，，，利用向量證得，，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，由（1）知為平面的法向量，計算，然后可求出答案.

（1）取中點，連結．

∵為正三角形，∴．

∵在正三棱柱中，平面平面，

∴平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，，

∴，，．

∴，，

∴，，且

∴平面．

（2）設平面的法向量為．，．

∴，即，解得，

令得為平面的一個法向量．

由（1）知平面，為平面的法向量，

∴．

∴銳二面角的大小的余弦值為．