Question

【題目】已知函數，若存在實數，使得對于定義域內的任意實數，均有成立，則稱函數為“可平衡”函數，有序數對稱為函數的“平衡”數對.

（1）若，判斷是否為“可平衡”函數，并說明理由；

（2）若，，當變化時，求證：與的“平衡”數對相同；

（3）若，且、均為函數的“平衡”數對.當時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“可平衡”函數,詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

(1)利用兩角和差的正弦公式求解即可.

(2)根據題意可知,對于任意實數,,再列式利用恒成立問題求解即可.

(3)根據“平衡數對”的定義將用關于的三角函數表達,再利用三角函數的取值范圍求解即可.

（1）若,則,

,

要使得為“可平衡”函數,需使故對于任意實數均成立,只有,

此時,,故存在,所以是“可平衡”函數.

（2）及的定義域均為,

根據題意可知,對于任意實數,,

即,即對于任意實數恒成立,

只有,,故函數的“平衡”數對為,

對于函數而言,,

所以,

,,

即,故,只有,所以函數的“平衡”數對為,

綜上可得函數與的“平衡”數對相同.

（3）,所以,

,所以,

由于,所以,故,,

,

由于,所以時,,

,所以.