Question

正方體，的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，則下列五個(gè)命題：
①點(diǎn)到平面，的距離為
②直線與平面，所成的角等于
③空間四邊形，在正方體六個(gè)面內(nèi)形成六個(gè)射影，其面積的最小值是
④與所成的角
⑤二面角的大小為 
其中真命題是                     。（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

②③④

這道題目顯然考查的是我們對(duì)于立體幾何的理解及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用。這其實(shí)也是一種較為平常的題型即五選三題型。一看到這種類型，我們應(yīng)該在初讀題干之后，從選項(xiàng)入手。下面就每一個(gè)選項(xiàng)具體進(jìn)行具體分析：①考查點(diǎn)到面的距離，很明智的解決辦法是試圖在我們可見的方位上找出過點(diǎn)的一條垂直于面的直線，很簡(jiǎn)單地我們發(fā)現(xiàn)（為正方體的中心）是一條符合要求的直線，所以距離為面對(duì)角線長(zhǎng)的一半即，假；②考查直線與面的夾角，顯然直線與面有交點(diǎn)，再?gòu)膫?cè)面看顯然直線與面的夾角為，真；③考查空間上的面射影，按照射影的規(guī)律我們依次得到空間四邊形的前后射影、左右射影均為直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形，上下射影為邊長(zhǎng)為1的正方形，故最小射影的面積為，真；④考查空間中的直線夾角，顯然采取平移的辦法將移到面上，則由余弦定理知兩直線夾角的余弦值為（計(jì)算時(shí)將邊長(zhǎng)擴(kuò)大了一倍計(jì)算更為方便）則夾角為，真；⑤考查二面角，顯然是體對(duì)角線，、兩點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱，則將問題簡(jiǎn)化為點(diǎn)與面的夾角兩倍的求解，再將問題從空間簡(jiǎn)化到平面上來，則夾角的正切值為（同樣將數(shù)據(jù)擴(kuò)大了一倍）則有所求二面角為，不等于，假。綜上，正確答案是②③④。