Question

（本小題滿分12分）
如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過作平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知。
（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的大小。

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）

（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，
則∥平面，所以∥。
又是的中點，所以⊥，則⊥。
因為⊥，⊥，
所以⊥面，則⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，連。因為⊥平面，

根據三垂線定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，則∥，則是的中點，則。
設，由得，，解得，
在中，，則，。
所以，故二面角為。
解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則


所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
（2）由已知設
則
由與共線得:存在有得
 
同理:

設是平面的一個法向量,
則令得 
又是平面的一個法量

所以二面角的大小為