Question

（已知拋物線（）的準線與軸交于點．
（1）求拋物線的方程，并寫出焦點坐標；
（2）是否存在過焦點的直線（直線與拋物線交于點，），使得三角形的面積？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）參考解析；（2）存在，或

試題分析：（1）由拋物線（）的準線與軸交于點，可求得的值，即可得到拋物線方程與焦點坐標
（2）由于過焦點的直線可能垂直于x軸，依題意不可能垂直于y軸，所以假設直線.再聯立拋物線方程，由韋達定理以及弦長公式即可得到AB的弦長.由點到直線的距離公式即可得到點M到直線AB的距離.再由即可求出結論.
解法一：（1）由已知得：，從而拋物線方程為，
焦點坐標為．                                               4分
（2）由題意，設，并與聯立， 
得到方程：，                            6分
設，，則，．       7分
 
∵，∴ ，   9分
又，∴               10分
解得，                                     11分
故直線的方程為：．即或．       12分
解法二：（1）（同解法一）
（2）當軸時，，，
不符合題意．                                       5分
故設（），并與聯立，
得到方程：，                          6分
設，，則，．              7分
，
點到直線的距離為，             9分
∴，      10分
解得，                                        11分
故直線的方程為：．即或．           12分