Question

（本小題滿分12分）已知函數（為常數）。
（Ⅰ）函數的圖象在點（）處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；
（Ⅱ）設，若函數在定義域上存在單調減區間，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若，對于區間[1,2]內的任意兩個不相等的實數，，都有
成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）因為，所以，因此，
所以函數的圖象在點（）處的切線方程為，               ……1分
由得，
由，得.                                    ……3分
（Ⅱ）因為，
所以，
由題意知在上有解，
因為，設，因為，
則只要，解得，
所以b的取值范圍是.                                              ……6分
（Ⅲ）不妨設，
因為函數在區間[1,2]上是增函數，所以，
函數圖象的對稱軸為，且。
（i）當時，函數在區間[1,2]上是減函數，所以，
所以等價于
，
即，
等價于在區間[1,2]上是增函數，
等價于在區間[1,2]上恒成立，
等價于在區間[1,2]上恒成立，
所以，又，
所以.                                                             ……8分
（ii）當時，函數在區間[1, b]上是減函數，在上為增函數。
① 當時，
等價于，
等價于在區間[1,b]上是增函數，
等價于在區間[1,b]上恒成立，
等價于在區間[1,b]上恒成立，
所以，又，所以
②當時，
等價于，
等價于在區間[b,2]上是增函數，
等價于在區間[b,2]上恒成立，
等價于在區間[b,2]上恒成立，
所以，故，
③當時，
由圖像的對稱性知，
只要對于①②同時成立，
那么對于③，則存在，
使 =恒成立；
或存在，
使=恒成立，
因此，
綜上，b的取值范圍是.                                        ……12分
點評：導數是研究函數的一個有力的工具，研究函數時，不要忘記考查函數的定義域.另外恒成立問題一般轉化成求最值問題解決.